|
Организаторы олимпиады:
|
 Егор Шишунов - абсолютный победитель олимпиады |
 |
 |
 |
 |
Устная олимпиада 5-7 классов
(май 2008 года)
Задачи
- Поиски точки.
На плоскость невидимыми чернилами нанесена точка – ее видит только человек в специальных очках. Если нарисовать на плоскости прямую, то этот человек сообщает, лежит ли эта точка на прямой, а если не лежит, то по какую сторону от прямой она находится. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы выяснить лежит ли эта точка
(а) внутри нарисованного треугольника;
(б) внутри нарисованного квадрата;
(в) на стороне нарисованного треугольника?
(г) Существует ли пятиугольник, для которого достаточно три вопроса, чтоб узнать, лежит ли точка внутри него?
(д) Как спросить про 11 прямых и узнать, лежит ли точка внутри выпуклого 501-угольника?
(е) Как спросить про 4 прямые и узнать, лежит ли точка внутри выпуклого 8-угольника?
(ж) Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы выяснить лежит ли эта точка внутри выпуклого 17-угольника? - Счастливые билеты.
Как известно, трамвайный билет имеет номер от 000000 до 999999 и считается счастливым, если сумма первых трех цифр номера билета равна сумме последних трех. Получив в трамвае билет, среди цифр которого нет нулей, Федя обнаружил, что он счастливый. Позже он заметил, что цифры номера билета можно разбить на 3 и на 4 группы с равными суммами.
(а) Приведите пример такого номера.
(б) Может ли сумма всех цифр билета делиться на 5?
(в) Докажите, что какая-то цифра встречается и в первой, и в последней тройке цифр одновременно.
(г) Какое наименьшее количество различных цифр может оказаться в этом билете?
(д) Найдите все такие билеты. - Передел монет.
Три пирата нашли кучку монет, каждый схватил столько, сколько успел. Затем пират с наименьшей суммой возмущается и у каждого из двух других забирает себе сумму, равную имеющейся у него на этот момент. Затем снова возмущается пират с наименьшей суммой (возможно, тот же) и проделывает то же самое. И так далее. Как только у какого-то пирата не остается монет, он открывает стрельбу, после которой все умирают.
(а) Приведите пример, когда пираты будут делить монеты вечно.
(б) В начале пираты взяли 1001, 2001 и 3001 монет. Может ли в какой-то момент у них оказаться 1999, 2000 и 2001 монет?
(в) Приведите пример, когда перестрелка начнется после ровно 10 переделов.
(г) Пусть у двух пиратов 123 и 124 монеты. Докажите, что для любого n можно выдать третьему пирату столько монет, что передел пройдет, по крайней мере, n раз.
(д) Рассмотрим любые натуральных чисел a, b и n, таких, что a делится на 3, b не делится на 3, найдется такое число c, что можно повторить действие, по крайней мере, n раз, начав с тройки чисел a, b, c.
(е) Можно ли передел начаться с 2243, 3003 и 3230 монет и прийти к ситуации 2002, 2925 и 3549 монет?