Устная олимпиада "Открытие"
5-7 класс (май 2011 года)
Задачи
Задача 1. Перекладываем карточки
На столе лежат карточки, на обратной стороне которых написаны различные числа. За один рубль можно выбрать три карточки и попросить положить их справо налево в порядке возрастания чисел на карточках. Цель — с гарантией выложить все карточки в порядке возрастания чисел на них.
(а) Пусть лежат 9 карточек. Вам показали, как упорядочивается каждая тройка карточек. Как теперь выложить все карточки в правильном порядке?
(б) Пусть лежат 9 карточек, из которых 8 уже упорядочены.
Как найти место для девятой карточки, потратив 7 рублей?
(в) Как упорядочить 9 карточек, потратив 28 рублей?
(г) Пусть лежат 15 карточек, из которых 14 уже упорядочены.
Как найти место для пятнадцатой карточки, потратив 3 рубля?
(д) Как упорядочить 15 карточек, потратив 33 рубля?
(е) Пусть лежат 27 карточек, из которых 26 уже упорядочены.
Как найти место для 27-ой карточки, потратив 3 рубля?
(ж) Как упорядочить 27 карточек, потратив 67 рублей?
Задача 2. Раз, два, три... Раз, два, три...
Клетки клетчатого прямоугольника занумерованы числами 1, 2 и 3. Из клетки с номером 1 можно и перейти только в соседнюю по стороне клетку с номером 2, с номера 2 — только на соседний номер 3, с номера 3 — только на соседний номер 1. Нумерация «хорошая» если из любой клетки за несколько ходов можно попасть в любую другую клетку.
(а) Найдите хорошую нумерацию клеток квадрата 3 × 3.
(б) Существует ли хорошая нумерация клеток поля 2 × 4?
(в) Существует ли хорошая нумерация клеток поля 2 × 5?
(г) При каких n существует хорошая нумерация клеток поля 2 × n?
(д) Докажите, что при хорошей нумерации клеток для числа любой клетки в соседних по сторонам клетках есть два других числа. Например, если в клетке стоит число 1, то в соседних клетках найдутся числа 2 и 3.
(е) Какое наибольшее количество чисел 1 может быть в хорошей нумерации клеток квадрата 4 × 4?
(ж) Какое наименьшее количество чисел 1 может быть в хорошей нумерации клеток квадрата 5 × 5?
Задача 3. Углы тупые и углы острые
Из одной точки выходят лучи. Углом между лучами будем считать угол, меньше 180o.
Если он при этом менее 90o, то он — острый, если равен 90o — прямой,
если более 90o — тупой.
(а) Расположите 6 лучей так, чтобы они образовали острых углов столько же, сколько и тупых.
(б) Расположите 6 лучей так, чтобы они образовали ровно 7 острых углов и ровно 7 тупых углов.
(в) Провели 11 лучей. Какое наибольшее количество прямых углов они могут образовать?
(г) Провели 4 луча. Могут ли они образовать поровну острых, прямых и тупых углов?
(д) Провели 12 лучей. Могут ли они образовать поровну острых, прямых и тупых углов?
(е) При каких n можно провести n лучей так, чтобы они образовали поровну острых,
прямых и тупых углов?
(ж) Провели 27 лучей. Никакие два из которых не образуют развернутый угол.
Могут ли эти лучи образовывать острых углов столько же, сколько и тупых?
| 
