МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ
В КОСТРОМЕ

... / ЛМШ "Kostroma Open" / ЛМШ-2019 (август) / ...


9-10 класс: занятия


6 класс: обсуждение задач


8 класс: зачёт


5 класс: вводная олимпиада


7 класс: на занятиях


8 класс: на занятиях

Летняя математическая школа
"Kostroma Open 2019. Август"

Лекторий 9-10 класса

  • Коники (1), (2) и (3)
    (Владимир Шастин)

    Миникурс про коники (кривые второго порядка) и проективную геометрию.

    На первой лекции даны определе ния коник и доказаны некоторые их геометрические свойства.

    На второй лекции показано, что определенные в первой лекции кривые получаются как сечения конуса плоскостями, а также изучены еще несколько замечательных свойств этих кривых.

    Третья лекция: коника дает возможность заменять точки на прямые, а прямые на точки.

  • Замощение подобными прямоугольниками (1) и (2)
    (Павел Рябов)

    Задача про замощение фигур подобными прямоугольниками довольно сложная и, разумеется, в настолько общей форме не решается. Однако, эта тема является очень интересной для исследования (например, в качестве курсовой) и относительно современна. Сегодня я расскажу о том, какие прямоугольники возможно замостить квадратами и попытаюсь ответить на обратный вопрос: на какие прямоугольники, подобные данному, возможно разделить квадрат. Как мы увидим, в некоторых случая разбиение совсем не очевидно и тем более доказательство невозможности разбиения.

    На второй лекции показано, какие прямоугольники можно разбить на прямоугольники с отношениями сторон из набора ai+biq, q2 - простое так, чтобы для каждого числа из набора в разбиении нашёлся бы прямоугольник с таким отношением сторон. Кратко показаны схожие проблемы в этой области.

  • Кватернионы, повороты пространства и правильные многогранники (1) и (2)
    (Игнат Романов)

    Кватернионы являются, в некотором смысле, более общим аналогом комплексных чисел. Они получаются добавлением к вещественным числам не одной, а трех мнимых единиц. При этом частью привычных нам свойств, например, коммутативностью умножения, приходится жертвовать. Но как комплексные числа связаны с геометрией на плоскости, так же и (вообще-то говоря четырехмерные кватернионы) оказываются связаны с геометрией трехмерного пространства. На лекциях показана эта связь. С ее помощью мы научились на основе правильных трехмерных многогранников строить четырехмерные правильные многогранники.

  • Теорема Форда-Фалкерсона
    (Дмитрий Трущин)

    Транспортная задача Форда-Фалкерсона является одной из классических задач теории алгоритмов. Особый интерес к задаче привлекает то, что она имеет широкое применение в самых разных областях - от перевозки реальных грузов до создания электрических сетей. На первой из двух лекций только доказана теорема, но и выведены из нее несколько классических теорем теории графов.

  • Узлы и их инварианты
    (Михаил Федоров)

    Все мы встречаем узлы. Причем запутать узел можно по-разному. Но некоторые узлы хоть и выглядят по-разному могут оказаться «одинаковыми». Как сравнить произвольные два узла?

  • Конечная геометрия
    (Ольга Манжина)

    Какой могла бы быть геометрия, если бы в мире не было континуума? Показана пара примеров того, чем может быть это полезно нам. Лекция для тех, кто устал от непрерывности вокруг.

  • Игрушечная теория игр (1) и (2)
    (Игнат Романов)

    Если открыть какой-нибудь учебник по теории игр, то мы столкнемся с большим количеством терминов из самых разных областей математики, далеко не всегда известных школьнику. Новые понятия, даже если они не сложные, все равно, затрудняют чтение. А научно-популярная литература обьясняет понятно, но слишком уж "популярная". В рамках данного курса мы попробуем перекинуть мостик от одного к другому и постараемся разобрать основы теории игр на достаточном уровне строгости (с использованием разных страшных слов), но не теряя при этом ясности изложения.

  • Стереографическая проекция
    (Владимир Шастин)

    На лекции рассказано о замечательной геометрической конструкции, которая позволяет отождествить плоскость с бесконечно удаленной точкой со сферой. Оказывается это отождествление приводит к новой геометрии на расширенной плоскости, в которой инверсии и гомотетии — это движения. Знание материала лекций про коники приветствуется, но не обязательно.

  • Конечные поля
    (Евгений Жуков)

    Теория полей из конечного числа элементов – это классический и глубоко разработанный раздел алгебры. На лекции мы познакомимся с понятием поля, узнаем, что множество остатков по простому модулю является полем, а также научимся строить некоторые новые поля.

  • Суммы степеней последовательных чисел
    (Григорий Мерзон)

    Всем известна формула для суммы 1+2+...+n. Многие еще видели формулы для сумм 12+22+...+n2 и 13+23+...+n3 и вообще знают, что «любую формулу такого рода можно доказать по индукции». Но история про суммы степеней на этом совершенно не заканчивается. О том, куда двигаться дальше, и поговорим. От слушателей ожидается, что они умеют раскрывать скобки и доказывать формулы по индукции. Никаких особых предв. знаний не требуется.

  • Площади и объемы (лекция для 8 классов)
    (Григорий Мерзон)

    Поговорим про то, как вычислить площади и объемы разных фигур. В числе прочего планируется обсудить соображения размерности и принцип Кавальери, велосипедную теорему Мамикона и ее связь с теоремой Пифагора, площадь сферы и проекцию Ламберта.

  • О кодировании
    (Ольга Агаханова)

    Дадим математическое определение кодирования, свойства, рассмотрим примеры. В общих чертах обсудим помехоустойчивое кодирование.

  • Фракталы
    (Людмила Смирнова)

    Рассказано в т.ч. о том, что такое дробная размерность.

  • Одно нетривиальное применение интерполяционных многочленов
    (Лаврентин Арутюнян)

    Одно поразительное и малоизвестное применение интерполяционного многочлена

  • Проекции в пространстве
    (Владимир Шастин)
  • Хроматические числа (1) и (2)
    (Дмитрий Трущин)
  • Аксиоматика. Геометрия Лобачевского
    (Вячеслав Пирогов)

© Д.А. Калинин, 2019, разработка, дизайн